1．保险费和保险费率
     保险费是指被保险人为获得保险保障，在参加保险时，根据其投保时所定的保险费率，向保险人交付的费用。保险人依靠其所收取的保险费建立保险基金，对被保险人因保险事故所遭受的损失进行经济补偿。因此，缴付保险费是被保险人的基本义务，只有在被保险人履行了约定交费义务的前提下，保险人才能承担保险合同载明的保险责任。
     保险费由纯保费和附加保费构成，纯保费是保险人用于赔付给被保险人或受益人的保险金，它是保险费的最低界限；附加保费是由保险人所支配的费用，主要用于保险业务的各项营业支出，包括营业税、代理手续费、企业管理费、工资及工资附加费和固定资产折旧等。
    保险费率是保险费与保险金额的比率，又称为保险价格，是被保险人为取得保险保障而由被保险人向保险人所支付的价金，通常以每百元或每千元的保险金额的保险费来表示。但作为保险价格的保险费率是不同于其他商品的价格的，因为保险人制定费率时主要依据过去的损失和费用统计记录，而不是已保保险标的损失资料。
    保险费率一般由纯费率和附加费率两部分组成。习惯上，将纯费率和附加费率相加所得到的保险费率称为毛费率。
    纯费率是纯保费与保险金额的比率，也称净费率，它用于保险事故发生后进行赔偿和给付保险金的费率。财产保险纯费率的计算依据是保额损失率，人寿保险纯费率的计算依据是利率和死亡率。
附加费率是附加保费与保险金额的比率。它是以保险人的营业费用为基础计算的，用于保险人的业务费用支出、手续费支出以及提供部分保险利润等。通常以占纯费率的一定比例表示。附加费率由费用率、营业税率和利润率构成。
   2．厘定保险费率的原则
保险人在厘定保险费率时总体上要做到权利与义务对等，具体包括下列几个原则。
（1）充分性原则。充分性原则是指所收取的保险费在支付赔款、营业费用和税款之后，仍有一部分的结余。可见，充分性原则的核心是保证保险人有足够的偿付能力。如果保险费率过低，就会降低保险人的偿付能力，结果使保险人的经营处于一种不稳定状态，不利于稳健发展。在竞争激烈的保险市场上，为了提高自己的竞争力，保险人常常不惜以降低保险费率来吸引顾客。为了贯彻充分性原则，避免恶性竞争，很多国家都对保险费率进行管制，以保证保险公司的偿付能力。
（2）公平合理原则。公平是指一方面对保险人来说，其收取的保险费应与其承担的风险相当；另一方面对被保险人来说，其负担的保险费应与其获得的保障相当。合理则是指保险费率应尽可能合理，保险费的多少应与保险种类、保险期限、保险金额相关联，保险人不能为追求超额利润而片面制定过高的保险费率。
（3）稳定灵活原则。稳定是指保险费率应当在一定时期内保持稳定，以保证保险公司的信誉。稳定的费率有利于保险公司的业务核算，也使被保险人的保费支出保持稳定。不稳定的保险费率会给保险公司的经营活动带来负面影响。同时，坚持稳定原则并不是要求保险费率保持一成不变，也要随着风险的变化、保险责任的变化和市场需求等因素的变化而做出相应的调整，具有一定的灵活性。
（4）促进防灾防损原则。促进防灾防损原则要求保险费率的厘定应有利于促进防灾防损。具体来讲，对注重防灾防损工作的被保险人采取较低的费率。贯彻这一原则有两个好处：其一，可以减少保险人的赔款支出；其二，可以促进被保险人加强防灾防损，减少整个社会的财富损失。
3．厘定保险费率的一般方法
（1）判断法。判断法又称观察法或个别法，是在具体的承保过程中，由核保人员根据每笔业务保险标的和以往的经验，直接判断风险频率和损失率，从而确定适合特定情况的个别费率。由于这种类型的保险费率是从保险标的的个别情况出发单独厘定的，因此较能反映个别风险的特性。
但是，在现代保险业务中，判断法往往因其手续繁琐，加之受核保人员的水平和被保险人的信用影响很大，不十分科学。通常用于海上保险、航空保险等，这些保险因航程不定、气候变化或交替使用不同运输工具而遭遇无法分类统一分类的风险时，就常用判断法。例如，我国保险公司初期承保波音747飞机时，就是采用判断法厘定费率的。另外，一些新的保险业务，开始时由于缺乏统计资料，有无可比情况，只好用判断法。
（2）分类法。这是现代保险经营中经常使用的厘定保费的方法，它是根据若干重要而明显的风险标志，将性质相同的风险予以归类，并在此基础上依据损失率厘定分类费率。其准确程度，既有赖于分类的适当性，又取决于各类别所包含的风险单位的数量。人寿保险、火灾保险以及大多数意外伤害保险通常使用分类法。如美国火灾保险，以被保险财产所在地区的消防级别作为费率分类的基础。又如，各种人寿保险以年龄、性别、健康状况来分类，适用于不同的分类费率。
采用分类法是基于这样一种假设：被保险人将来的损失很大程度上由一系列相同的因素决定。因此，最理想的分类费率的条件是每一类别中，各单位所有风险因素的性质完全一致，这样每单位的预期损失及费用都相同。但现实生活中的标的很难符合这一条件。
（3）修正法。修正法又称增减法，即在规定基本费率后，在具体的承保中，根据损失经验就个别风险加以衡量后，在基本费率基础上进行增减变动而确定下来的费率。修正法兼具判断法的灵活性和分类法的广泛性，是一种科学适用的计费方法。修正法通常又可分为表定法、经验法、追溯法。
1）表定法。表定法是指保险人对每一具有相似风险的类别规定若干客观标准，然后依据标准情况下的风险程度制定出来，并以表格形式列示的一系列费率。当投保人投保时，核保人员以实际投保标的所具有的风险与原定标准相比较，若其条件比原定标准好，则按表定费率减少一部分；反之，则做适当增加。表定费率一般用于性质较为复杂的工商业风险，如火灾保险。例如，建筑物火灾保险，以砖造、具有一般消防设备的建筑物为基础，对影响建筑物火灾的四大因素——用途、构造、位置、防护设施分别确定调整幅度表，并规定调整幅度至多不超过基础费率的15%。
其优点是：第一，它适用于程度不等的风险和各种规模的投保单位；第二，可以鼓励被保险人加强防灾防损。因为费率的高低决定于客观标准的规定。如果防灾防损搞得好，则可规定平均风险以下的客观标准，厘定出较低的保险费率；反之，则厘定出较高的费率。
缺点是厘定费率费用太高，不利于保险人降低保险成本；同时，表定费率在实际运用中灵活性太大，业务人员在竞争激烈时，为争取承保更多业务而可能过度地降低费率，不利于保险财物的稳定。
2）经验法。经验法是指根据被保险人以往的损失经验，对分类费率进行增减变动而厘定出来的费率。也就是说，以过去一段时期（通常是3年）的平均损失为基础，厘定未来时期被保险人待用的保险费率。计算公式是：

式中， 为保险费率调整的百分数； 为经验期（考察期）被保险人的平均实际损失； 为被保险人适用某分类费率时的预期损失； 为信赖因数； 为趋势因数。这里采用的趋势因数，主要是为了顾及平均赔偿金额支出的趋势以及物价指数的变动等。
例如，某企业投保产品责任保险，按分类费率计缴保险费总额为5 000元，其中80%为纯保险费（预期损失），过去3年平均实际损失为3 000元，假定信赖因数为38%，趋势因数为1，则其费率调整幅度为：



即该企业投保时实际保险费率应比分类费率减少 ，所以调整后应缴保险费为：

经验法的最大优点是厘定时，已考虑到影响风险发生的每一因素；而表定法仅考虑若干个重要因素。经验费率大多适用于主观风险因素较多、损失变动幅度较大的风险，如公众责任保险、汽车保险等。
3）追溯法。追溯法是以保险期内保险标的实际损失为基础，并依此计算被保险人当期应缴的保险费。由于保险标的当期损失实际数须到保险单期满后才能得知，这样确切应缴的保险费只有在保险期满后才能计算出来。因此，在使用追溯法时，先在保险期限开始前，以其他类型费率确定预缴保险费，然后在保险期满后，根据实际损失对已缴保险费进行增减变动。追溯法厘定程序烦琐，不利于保险人大规模开展业务，实际中很少采用。

4.1.2 概率论基础

　　1．概率分布
我们知道随机试验的结果具有不确定性，那么怎么来表示随机试验的不确定结果呢？以掷色子为例，用 表示掷一个色子可能出现的点数，则 可能为1，2，3，4，5，6，可以看出一旦试验结果定了， 的取值也就被确定了。这种取值依赖于某个随机试验的结果，并由试验结果完全界定的因变量就称为变量。在保险实务中，这种随机变量往往取值为各种损失额，用来表示各种危险事故发生的后果。我们需要研究的不仅是风险是否发生，而且包括这些损失是以什么概率发生，换句话讲，随机变量即损失数额的概率是怎样分布的。
概率分布是用来描述各种随机变量及其对应概率的。由于随机变量随实际问题的不同可分为离散型和连续型两种，因此对于不同的随机变量有不同的概率分布描述形式。
对离散型随机变量，由于随机变量的取值为有限个或可数个，容易知道，要掌握一个离散随机变量 的统计规律，只需知道 的所有可能取值所对应的概率即可。
设离散随机变量 的所有可能取值为 ， 取各个可能值的概率为：

我们称之为离散型随机变量 的概率分布或分布率。分布率也可以表示如下：
X … …
P … …
由概率的性质可知：
（1）
（2） 。
例如，存在大、中、小三种类型的风险事故，其分别对应的概率和损失额如表4-1所示。
表4-1 风险事故类型、发生概率和损失额
风险事故类型 发生概率P 损失额X（万元）
大 0.1 10
中 0.6 3
小 0.3 1
在这个例子中，损失额 是随机变量，其能取三个值10，3，1，分别对应的概率为0.1，0.6，0.3。这时我们称损失额 为离散型的随机变量，其概率分布表示如表4-2所示：
表4-2 概率分布
X 1 3 10
Pk 0.3 0.6 0.1
在表4-2中，可一目了然地看出损失额及其概率分布情况。如果想知道3万元以上的损失发生概率是多少，只要将损失额3万元以上的概率0.6和0.1加总。
对于连续型随机变量，由于随机变量可能取到若干个有限的或无限的区间上的任何值，要描述它的概率分布就不能像离散型随机变量那样，而要用到概率分布密度函数。
如果对于任意实数 ，存在非负函数 ，满足

则称随机变量 为连续型随机变量，函数 称为连续型随机变量 的概率密度函数。
概率密度函数具有如下性质：
（1） ；
（2） （a, b为任意数）。
2．数字特征
上面讨论了随机变量的概率分布，它们能够完整地描述随机变量的统计规律。但往往使用起来不大方便，对结果的比较也不简便。所以在处理一些实际问题中，更值得关心随机变量的某些特征，如数学期望、方差等。这些数字特征无论在理论上还是实践上都具有重要的意义。
（1）机变量的数学期望。
1）离散型随机变量的数学期望。设有一离散型随机变量 ，它的可能取值为 ，这些值对应的概率分别为 ，则称 为离散型随机变量 的数学期望。受算术平均值的启发，也可以把它看做是某种更广泛意义下的平均值。试与算术平均值相对照，在算术平均值中，每一 都乘以相同的权数 ，但在求期望的公式中，诸 的权数则是随机变量取此值的概率 。于是，此概率值 越大，相应的 对期望 的贡献也越大，从这一意义上说，这样的平均称做加权平均或概率平均。鉴于上述解释，通常也把期望 称为是随机变量 的均值。
例如，在上面大、中、小三种类型危险事故的例子中，就可以用损失额 与其概率的乘积之和计算出损失额 的期望：
=10×0.1+3×0.6+1×0.3=3.1（万元）
其含义是大、中、小三种类型危险事故的损失额的平均值为3.1万元。
2）连续型随机变量的数学期望。若 为连续型随机变量，其概率密度为 ，由于 在连续型随机变量中起的作用类似于概率分布在离散型随机变量中起的作用，因此连续型随机变量 的数学期望 可以定义为：

数学期望具有以下计算法则：


式中， 为常数。
3）损失期望值。在保险实务中，随机变量的取值通常是损失的各种不同数额，则此时随机变量的数学期望就是损失期望值，即未来危险事故产生损失的均值。
保险费由纯保费和附加保费构成。其中，纯保费用于保险事故发生时保险人赔付给被保险人或受益人的保险金，也是保险商品的价格。从理论上讲，纯保险费总额应等于未来赔付金总额，能否科学确定纯保费收取额，关键在于能否正确计算未来风险事故发生的损失的均值，即损失期望值。对于保险人来说，只有知道了损失期望值，才能知道预期损失的总额，然后才能确定自己的收费费率，确保未来经营的连续性。对于理性投保人来说，也会考虑到损失的期望值，将预期的损失金额与需缴纳的保险费相比较，才能做出是否购买保险的决定。
（2）随机变量的方差与变异系数。
1）随机变量的方差和标准差。随机变量的数学期望仅仅表明了随机变量的平均程度，而不能表明随机变量 与均值 之间的偏离程度。例如，设 表示保险人承保的10 000辆汽车中的失盗数量，假设 的分布有两种可能情况表（见表4-3和表4-4）。
表4-3 情况一
X 16 18 20 22 24
P
表4-4 情况二
X 8 14 20 24 34
P
虽然在这两种情况下均有 ，但是在情况一中， 的取值与 的偏离程度较小，保险人能够比较准确地估计失盗汽车数；在情况二中， 的取值与 的偏离程度较大，保险人很难准确地估计失盗汽车数。可见仅有数学期望还不能完善地说明随机变量的分布特征，还必须说明随机变量与其数学期望的偏离程度。为此，需要引进方差的概念。
方差 是随机变量 除期望 以外，另一个最重要的数字特征。方差的定义为：

可见，方差 是 相对于 的偏离程度的概率平均。这表明，如果方差 较小，则随机变量 与均值 之间的偏离就较小（在概率平均的意义下）；如果方差 较大，则随机变量 与均值 之间的偏离就较大（在概率平均的意义下）。
方差具有下列性质：

式中， 为常数。
若 与 是相互独立的随机变量，则

标准差 是方差的平方根，即

标准差和方差一样，都可反映随机变量 和其期望 之间的偏离程度。方差和标准差的概念在保险实务中的含义是：方差和标准差越小，则说明损失期望值的代表性越强；反之，则说明损失期望值的代表性越差。
2）随机变量的变异系数。如果 ，定义 为随机变量 的变异系数。变异系数 是用来描述随机变量相对离散程度的。方差和标准差是用来反映随机变量绝对离散程度的。而仅仅依靠绝对偏离程度并不能客观地反映随机变量的偏离程度。例如，标准差为10对数学期望为10 000的随机变量并不算很大的偏差，但对数学期望为10的随机变量而言就是一个较大的偏差。因此，变异系数能更客观地反映随机变量的偏离程度。变异系数大则表示数学期望的代表性差；变异系数小则表示数学期望的代表性好。
变异系数在保险实务中运用广泛，它反映了保险企业经营危险的高低。如果变异系数小，说明危险低，保险企业经营稳定性高；反之，说明危险高，保险企业经营稳定性低。
3．大数法则
所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。现就其中主要的内容加以说明。
（1）切比雪夫（Chebyshev）大数法则。
设 是由相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：

则对于任意的 ，都有：

这一法则的结论运用可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所缴纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。
（2）贝努利（Bernoulli）大数法则。
假设某一事件以某一概率 发生。如果用 来表示此事件在 次实验中发生的次数，则 就是事件发生的概率。由计算可知：

由此可见，当 趋于无穷大时，频率的数学期望不变（恒为 ），而标准差 则趋于零。在这里，标准差描述的是相对于不同的 值所得到的频率与实际概率的离散程度。由于标准差随着 的增大而减小，说明当 足够大时，频率与实际概率很接近。更一般地，有下面的贝努利大数法则。
设 是 次贝努利实验中事件 发生的次数，而 是事件 在每次实验中出现的概率，则对于任意的 ，都有：

这一法则对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。在非寿险精算中，往往假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，便可以通过以往有关结果的经验，求出一个比率——这类标的发生损失的概率。而在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
（3）泊松（Poisson）大数法则。
假设某一事件在第一次实验中出现的概率为 ，在第二次实验中出现的概率为 ，…，在第 次实验中出现的概率为 。同样用 来表示此事件在 次实验中发生的次数，则依据泊松大数法则有：
对于任意的 ，成立

泊松大数法则的意思是说：当实验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。

1．利率因素
寿险业务大多是长期的。寿险公司预定的利率是否能实现，要看其未来投资收益，因此，利率的预定必须十分慎重。精算人员在确定预定利率之前要与投资部门进行协商，要考虑本公司及其他公司过去的投资收益情况。
预定利率对于保险公司制定费率十分重要，特别是对于传统寿险，因为它们在保单有效期内是固定不变的。寿险公司在预定利率时往往是十分谨慎的，但过于保守的态度也会损害被保险人的利益或丧失市场竞争力。
2．死亡率因素
寿险公司的经验死亡表是制定寿险费率十分重要的因素之一。各家寿险公司之间的经验死亡表差别是很大的。高的经验死亡率可能是低的经验死亡率的1.5倍。国民生命表是人口普查数据经统计分析和修正而编制的，大体上与总人口的寿命情形一致，但是对于某一地区、某一群体就不一定适合了。各寿险公司的科学做法应是将国民生命表与各公司的经验数据相结合，找出最适合本公司的死亡率数据。
3．费用率因素
保险公司均制定预定费用率。费用率一般随公司的不同而不同。大的公司比小的公司有较低的费用。寿险公司的费用一般包括：
— 同初始费，包括签发保单费用、承包费用等。
— 代理人酬金，包括代理人佣金、奖金、奖励、研讨会会费、养老金计划支出等。
— 保单维持费用，包括缴费费用、会计费用、佣金的管理费用、客户服务费用、保单维持的记录费用和保费收入税等。
— 保单终止费，包括退保费用、死亡给付费用和到期费用等。
4．失效率因素
一般而言，影响保单失效率的因素包括：第一，保单年度。保单失效率随保单年度的增加而降低。第二，被保险人投保时的年龄。十几岁至二十几岁的人口保单失效率较高，而30岁以上的被保险人的保单失效率较低。第三，保险金额。大额保单的失效率通常较低。第四，保费缴付频率。每年缴费一次比每月预先从工资中扣除保费的保单失效率较低，而每月直接缴费的保单的退保率则较高。第五，性别。当其他情况相同时，女性保单失效率要比男性保单失效率的低。
预定失效率应基于本公司的经验数据，而各公司之间由于各种差别使保单失效率大相径庭。如果本公司经验数据有限，可以找与公司经营状况相类似的公司的经验数据，再根据年龄、性别和保额等因素进行调整。即使是本公司的经验数据，在使用时仍需要做适当的调整。
5．平均保额因素
平均保额一般是以千元保额为单位的，一般表示为几个单位千元保额，如5单位保额、10单位保额等。通过平均保额可以计算保单费用、每张保单开支、单位保费费用和每次保单终止费用等。保单的特点及保单的最小单位也会影响平均保额的大小，通常可根据被保险人的年龄、性别及保单的特点对平均保额进行调整。
尽管影响人寿保险费率的因素有以上五个主要方面，但我们在解释人寿保险费率厘定原理时，为了简化分析过程往往只考虑死亡率因素、利率因素和费用率因素。这三个因素就是我们常说的计算人寿保险费率的三要素。

4.3.2 利息基础

    所谓利息，指的是在一定时期内，资金拥有人将使用资金的自由权转让给借款人后所得到的报酬。计算利息有三个基本要素：本金、利率和期间。利息的数额取决于本金的数量、利率的高低、存放期间的长短。本金数量越大，利率越高，存放期间越长，则利息越多。反之，利息就越少。一般来说，任何一项普通的金融业务都可以看做是投资一定数量的资金以产生一定量的利息。因此，利息的多少是衡量该项业务“好”“坏”的一个重要指标。
在利息的计算中，利息的水平是以利率来度量的。所谓利率是指单位资本在一个度量期产生的利息。实务中最常用的度量方法有两种：单利法和复利法。
1．单利的计算
单利是指每度量期均只对本金计息，而对本金产生的利息不再计息。
若以 表示本金， 表示利率， 表示计息期数， 表示利息， 表示本利和，则单利的计算公式为：


2．复利的计算
复利是单利的对称，是指将按本金计算出来的利息额再加入本金，一并计算出来的利息。复利的计算公式为：


3．终值与现值的计算
一笔资金在一定利率下存放一定时期后所得的本利和称为终值。在复利的条件下，终值可以表示为：
终值=本金×（1+利率）n 即，

现值和终值是相反的概念。现值是指未来本利和的现在价值，也就相当于本金。由终值的计算公式可以推得：
现值=终值/（1+利率）n 即，

式中， 称为贴现因子， = 表示1年后的1元在年初时刻的现值， 表示n年后的1元在年初时刻的现值。

4.3.3 生命表

1．生命表的概念和种类
生命表又称死亡表，它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（如保险公司的全体被保险人、某单位的全体员工）的有关生存状况统计资料，依整数年龄编制而成的用以反映相应人口群体的生死规律的统计表。生命表在有关人口的理论研究、某地区或某人口群体的新增人口与全体人口的测算、社会经济政策的制定、寿险公司的保费及责任准备金的计算等方面都有着极为重要的作用。
生命表中最重要的内容就是每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史和种族等。一般情况下，在设计生命表时，主要考虑年龄和性别。
生命表总体上可以分为国民生命表和经验生命表两大类。国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生存状况统计资料编制而成的，依其编制的技术可分为完全生命表和简易生命表。完全生命表是根据准确的人口普查资料，依年龄分别计算死亡率、生存率、平均余命等生命函数而编制的；简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段（如5岁或10岁为一段）计算的死亡率、生存率、平均余命等而编制的。而寿险公司使用的经验生命表，是以被保人群体为对象，按实际经历的死亡统计资料编制而成的。但根据需要，经验生命表也可按保险的种类、保单的年度及被保人的性别等进行编制。这里我们只考虑经验生命表按其所计算的统计资料性质的不同来划分，此时经验生命表可划分为综合生命表、选择—终极生命表等。
2．生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定该年龄生存的一个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄，并规定此年龄的人数通常取整数如10万、100万、1000万等。在生命表中还规定最高年龄，用 表示，满足 。一般的生命表中都包含以下内容。
：表示年龄。
：生存人数，是指从初始年龄至满 岁尚生存的人数。例： 表示在初始年龄定义的基数中有 人活到30岁。
：死亡人数，是指 岁的人在一年内死亡的人数，即指 岁的生存数 人中，经过一年所死去的人数。已知在 岁时生存数为 ，于是有 。
：死亡率，表示 岁的人在一年内死亡的概率。显然， 。
：生存率，表示 岁的人在一年后仍生存的概率，即到 岁时仍生存的概率。
，所以
：平均余命或生命期望值，表示 岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有：

在寿险数理的计算中，还要遇到一些符号：
：表示 岁的人在 年末仍生存的概率。

：表示 岁的人在 年内死亡的概率。

：表示 岁的人在生存 年后 年内死亡的概率。

当 时，用 表示 岁的人在生存 年后的那一年 中死亡的概率。

4.3.4 年金及其计算

年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔进行的一系列的付款。依据不同的标准，年金可以划分为很多类。按支付条件，年金可以划分为确定年金和风险年金。确定年金是指年金的每次支付是必然要发生的；风险年金则是年金的每次支付是不确定的，如以人的生死为给付条件的生命年金就是一种风险年金。对人寿保险而言，有意义的年金划分方式还有以下几种：以每支付期支付的时点不同，分为期首付年金和期末付年金；以支付开始的时间不同，分为即期年金和延期年金；以年金的期限不同，分为定期年金和永久年金。
1．确定年金
（1）期首付年金。期首付年金是指年金的支付发生在每一期的期初。假设每期初的支付金额为1元，支付的责任期限为 ，每支付期的实际利率为 ，用 表示期首付确定年金的现值， 表示期首付确定年金的终值。则：
其中
同样可以得出：

可见，终值和现值之间存在以下的关系：

（2）期末付年金。期末付年金是指年金的支付发生在每一期的期末。假设每期末的支付金额为1，支付的责任期限为 ，每支付期的实际利率为 ，用 表示期末付确定年金的现值， 表示期末付确定年金的终值。则：

同理，

期末付终值和现值之间也存在这样的关系：

期首付确定年金与期末付确定年金的现值和终值之间的关系为：


2．生命年金
所谓生命年金，就是指以被保险人的生存为条件，按事先约定的金额以连续的方式或以一定的时间间隔而进行的一系列支付的保险。生命年金可按不同的标准进行划分。按支付开始的日期，可分为即期年金和延期年金；按支付的期间，可分为终身生命年金和定期生命年金；按年金支付的额度，可分为定额年金和变额年金。
（1）期末付生命年金的现值。
1）期末付定期生命年金的现值。设 表示年龄为 岁的人，购买定期 年，期末付年金1元的生命年金的现值。则，
第1年末，保险人支付年金的现值为：
第2年末，保险人支付年金的现值为：

第 年末，保险人支付年金的现值为：
保险人收取的净保费现值为：
根据收支相等原则，有：


为了简化上述表达式，令：


， 被称为换算符号，它们由 和 确定，通常被编成表供查阅。所以：




同理可求，
2）期末付终身生命年金的现值：

3）期末付延期定期生命年金的现值：

4）期末付延期终身生命年金的现值：

（2）期首付生命年金的现值。
1）期首付定期生命年金的现值。设 表示年龄为 岁的人，购买定期 年，期首付年金1元的生命年金的现值。则，
第1年初，保险人支付年金的现值为：
第2年初，保险人支付年金的现值为：

第 年初，保险人支付年金的现值为：
保险人收取的净保费现值为：
根据收支相等原则，有：





同理可求，
2）期首付终身生命年金的现值：

3）期首付延期定期生命年金的现值：

4）期首付延期终身生命年金的现值：

4.3.5 寿险纯保费的计算

1．寿险趸缴纯保费的计算
所谓趸缴纯保费，就是指投保人或被保险人在保单签发之日一次性缴付的纯保费。这里的纯保费是指理论保费，即只以预定死亡率和预定利率为基础而计算出来的一种保费，且刚好可用于未来保险金的给付。人寿保险费制定的基本原则是等价交换、收支相等。人寿保险纯保费制定的直接依据是：纯保费收入的现值等于未来支付保险金的现值。
由于是在投保时一次性付清的，因此，趸缴纯保费在投保时的现值就是其本身。趸缴纯保费应与保险合同所规定的保险人在整个保险期内的给付义务的现值相等。在以后的计算中，均假设利率为 ， ，死亡发生在每一年的年中，保险人给付保险金为1。
这里，仅用定期死亡保险为例来说明趸缴纯保费的计算原理，其他险种的趸缴纯保费的计算方法与此类似。
假设被保险人投保（或签单）时的年龄为 岁， 岁时有 人参加定期死亡保险，第一年中有 个人死亡，保险人对死亡的被保险人每人给付保险金1元，共 元，则给付保险金的现值为 ；第二年中保险人给付保险金的现值为 第 年保险人给付保险金的现值为 。
个人应缴纳的总纯保费等于保险人各年给付保险金的现值之和，即，

用总保费除以 ，可以得出每个人应缴纳的纯保险金额。用 表示x岁的人投保保险金额为1元，保险期限为n年的死亡保险的趸缴纯保费。则，




引入换算符号，



所以，

当 时， ，此即为自然费率公式。
同理可求，
（1）终身死亡保险趸缴净保费：
（2）生存保险趸缴净保费：
（3）全保险趸缴净保费：
（4）延期定期寿险趸缴净保费：
（5）延期终身寿险趸缴净保费：
（6）延期定期生存保险趸缴净保费：
（7）延期定期两全保险趸缴净保费：
2．寿险年缴纯保费的计算
趸缴纯保费数额较大，投保人往往难以接受。为了解决投保人的这个负担，保险公司一般允许投保人在购买保险时，将保险费按年、按季、按月或每半年缴付一次，而以一年缴付一次的方式最为普遍。按年缴付的保险费即为年度保险费。不论是一次性缴费方式还是按年缴费方式，投保人所缴保险费的现值都应该相等，即年缴保险费的现值等于趸缴保险费的现值。
以 代表各类人寿保险的趸缴纯保险费，以 代表年缴纯保险费，由于 元是投保人按年缴付的，因此，各年的 折算到投保时的现值不同，各年缴费的人数也不同。设年缴纯保险费 在 年内每年年初缴纳一次，则保险人各年收取纯保险费的现值为：

此累积现值应与趸缴纯保费相等，即，

则，

即，

因此，
（1）定期死亡保险年缴纯保险费：
（2）终身寿险的年缴净保费：
（3）定期生存保险的年缴净保费：
（4）两全保险的年缴净保费：

4.3.6 寿险营业保费的计算

1．比例法
比例法就是按照营业保费的一定比例作为附加费用。这一比例一般根据以往的业务管理的经验来确定。若以 表示纯保费， 表示营业保费， 表示附加费用，则，

若以L表示附加保费，则，

比例法计算附加费用虽然简便，但不尽合理。一般对年期短，保费低的险种，附加费就可能少于实际需要；反之，对于年期长，保费高的险种，附加费则可能多于实际需要。
例4.2 已知某投保人缴净保费 元，附加费比例 ，求该投保人缴纳的营业保费 和附加费用 ？
解： （元）
（元）
2．比例常数法
比例常数法是把附加费用分成两部分考虑：首先，根据每张保单的平均保险金额推算出每单位保额必须承担的固定费用，这部分作为一个固定常数，用c表示；然后，再确定营业保费的一定比例作为其余部分的附加费用，用k表示，则，

所以，

比例常数法虽然对保额大的险种增加一定量的附加费，但对于年期短、保费低的险种，提取的附加费仍然少于实际需要。
例4.3 某人现年30岁，购买一定期10年的两全保险，保险金额为50 000元。已知经营此类业务，每万元保额需要支出固定费用100元，且该合同年的年缴净保费为 3 623.10元。此外，每年投保人还需要按营业保费的7.5%承担其余部分的附加费用。求该保单的年缴营业保费。
解：年缴营业保费为，
（元）
3．三元素法
该法综合了前面我们所介绍的三种附加费规定的方式。按每张保单在保险期内的不同阶段和不同用途，附加三种费用，称为三元素法。具体情况如下：
（1）新契约费用。它是寿险公司签订新契约与第一年度所必须支付的费用，如，体检费、签单费等，它是一次性费用且在签订保险合同的当年支出。一般按保额的一定比例计算，用 表示。
（2）维持费用。它是契约自第一年开始至契约终止时为止，全部保险期间内维持契约所必须支付的费用，如催缴保费、契约变更等所需费用。维持费用一般分摊于整个缴费期，每年每单位保险金额为 。
（3）收费费用。包括收费员工资、缴费事务费等，也是分摊于整个缴费期，一般按总保费的一定比例计算，用 表示。
此三元素法是由T.B.Spraque提出，故又称为史晋列克算式。

4.3.7 寿险责任准备金

1．寿险责任准备金的含义
人寿保险的保险费既可以一次性趸缴，也可分期缴纳。在趸缴保费的情况下，保险公司必须提存一部分以应付以后的给付。在分期按年缴费的情况下，大多数是按均衡保险费进行的。一般而言，在保险全过程的初期若干年中，保险公司的保费收入大于其所应支付给受益人的保险金；而在后期若干年中，其所收入的保费小于应支付给受益人的保险金。所以，保险公司必须把保险前期收入的部分保费积存起来，以弥补后期的不足。这种从保费中抽出一部分做提存的保费，称为责任准备金。
责任准备金其实是保险人对被保险人或其受益人的一种负债。责任准备金的提存，主要是为了保证被保险人或其受益人的利益。如果被保险人在保险期满前中途退保，或改变保费缴纳方式，或改变领取保险金的方式，保险人应根据当前所提存的责任准备金的数额，计算退保金或保险金的数额。
责任准备金可分为理论责任准备金和在其基础上修正后的实际责任准备金。
2．理论责任准备金的计算
理论责任准备金的计算，由过去法和未来法之分。
（1）过去法。过去法以分析已缴的纯保险费为出发点，用过去所缴纯保险费的终值减去过去已给付保险金的终值作为责任准备金的计算方法。即，
时刻t时的准备金=已缴纯保险在时刻t的精算积存值-
以往保险利益在时刻t时的精算积存值
（2）未来法。采用过去法计算准备金虽然利于理解，但计算较繁琐复杂，通常不采用这种方法。而常用的是未来法，它是采用将来应给付保险金在结算日的现值减去将来可收取的纯保费在结算日的现值的方法来计算准备金的。即，
时刻t时的准备金=未来保险利益在时刻t时的精算现值-
未缴纯保险费在时刻t时的精算现值
采用过去法和未来法计算的责任准备金是一致的。未来法和过去法的等价关系说明了责任准备金实际上是保险人在时刻t的未来损失的期望值。
3．实际责任准备金的计算
利用均衡纯保费计算准备金，必须假定附加费用足以支付实际的各项费用的开支。因为每年的纯保险费相等，故附加费用每年也相等，这就要求每年的实际费用支出相等。然而实际情况并非如此。由于原始费用的关系，第一年的费用要比以后各年的费用大得多。因此，保险公司实际提存的准备金并不与理论准备金相同，而是将理论准备金加以必要的修正计算出来的。这种修正之后的准备金称为实际责任准备金，又称修正责任准备金。不论采用什么方式对理论准备金加以修正，在保单到期时的实际责任准备金应与理论责任准备金相同。
为讨论问题方便，我们假定承保有下面的具有代表意义的保单：
某年龄为x岁的人，投保n年定期混合保险，保险金额为 元，保险费自保单开始时起分 年交付。
由于保险公司开始承保的第一年的年度毛保险费 减去年度纯保险费 的余额不足抵付当年的开支，故将第一年的纯保险费修订为一个较小的 ，使保险公司有 元的金额以应付当年的开支，同时将第二年及以后各年的年度纯保险费修正为 。换言之，在第一年少收的纯保险费，要从第二年以后的纯保险费内弥补。
在修正准备金时，第一个问题是如何决定第一年度的纯保险费 及第二年以后的纯保险费 ，如何令 与 的差额为 ，则有，

这里的 称为扣除额，因为 ， ，…， 为各年的年度纯保险费，故其现值应与趸缴纯保险费的现值相等，即，

又因为，

联合上面两式整理后可得，

可见，只要使 等于某个规定值，就可求出对应的 及 。
显然，对于扣除额 的数值是不能随意规定的，而应有一定的限制。例如，保险公司在第一年的给付，在理论上应等于自然纯保费 ，故 不论怎样都不得小于 ，即应有，

因此，

不难求出 的最高限额为：

同理论责任准备金的计算一样，实际责任准备金的计算也可分别用过去法或未来法进行，在此我们不再说明。总之，实际责任准备金计算的关键在于恰当地确定 的值。实务上采用的所谓一年定期修正制、终身保险修正制、扣除制等的差别在于选取的 的值不同。